El nudo de Conway: una estudiante resolvió un problema matemático que llevaba 50 años sin solución



Parecía que era una incógnita que nunca iba a resolverse, sin embargo la evolución de las mentes regala sorpresas constantemente. De un lado, el nudo de Conway, un problema matemático famoso por la eminencia que lo propuso, el inglés John Horton Conway, y porque llevaba medio siglo sin respuesta; del otro, Lisa Piccirillo, una estudiante universitaria estadounidense que se cruzó con el problema en un congreso y le pareció un ejercicio interesante para aprovechar en su tiempo libre.

En 2018, Piccirillo cursaba su doctorado en la Universidad de Texas, en Estados Unidos. Al cruzarse con el profesor de matemáticas Cameron Gordon le comentó lo que había descubierto unos días antes. “Comenzó a gritar: ‘¿Por qué no estás más emocionada?’, contó Piccirillo al sitio de noticias científicas Quanta. “Se puso como loco”, contó la estudiante.

Tal como Gordon le adelantó aquel día, la solución terminó siendo publicada este marzo por la prestigiosa revista Annals of Mathematics. “El problema del nudo de Conway estuvo abierto durante mucho tiempo y muchos matemáticos brillantes han pensado en él sin poder resolverlo”, explicó a BBC Mundo el matemático Javier Aramayona, investigador Ramón y Cajal en la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) de España.

Tan importante es lo que logró que “el resultado ha sido publicado en una de las mejores revistas de matemáticas y ha contribuido de manera significativa a que Piccirillo haya obtenido una plaza permanente en MIT después de poco más de un año desde su graduación”.

¿Qué es un nudo matemático?

El nudo de Conway.

Para explicar qué es el problema del nudo de Conway, antes es preciso hablar de la topología, la rama de las matemáticas en la que se enmarca. “La topología se interesa por las propiedades que persisten tras deformar de manera continua los objetos geométricos (por ejemplo, retorciéndolos o estirándolos), pero sin romperlos”, explica Aramayona, quien se especializa en esta área.

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“Aunque desde el punto de vista de la geometría un cuadrado es muy diferente de una circunferencia, desde el punto de vista de la topología ambos objetos son indistinguibles”, continúa. “En efecto, podemos ver fácilmente cómo deformar uno en el otro si nos los imaginamos hechos de plastilina”, agregó.

Dentro de la topología está la llamada teoría de nudos, donde el objeto de estudio tiene ciertas similitudes con los de la vida real. “La idea intuitiva que tenemos que tener es imaginar una cuerda que atamos y a la que pegamos los extremos entre sí”, explicó la matemática Marithania Silvero del Instituto de Matemáticas de la Universidad de Sevilla, de España.

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“¿Y qué es lo que estudia la teoría de nudos? Las deformaciones que podemos hacerle a esa cuerda. Es decir vemos cómo podemos retorcer esa cuerda, doblarla, plegarla, estirarla, comprimirla… Lo que no podemos hacer es cortar la cuerda. Eso está prohibido”, afirmó.

El nudo más simple, el trivial, sería como una cuerda con los extremos pegados y ningún cruce hecho. “Pero podemos imaginar nudos con tantos cruces y tan complicados como uno quiera”, añadió Aramayona.

El problema del nudo de Conway

John Horton Conway falleció en abril de coronavirus.

Parte de la fama del nudo de Conway se debe a Conway en sí mismo. Fallecido en abril a los 82 años por culpa del covid-19, este prolífico, influyente y carismático matemático, que trabajó en universidades como Cambridge y Princeton, era “el ególatra más querible del mundo”, según su biógrafa, Siobhan Roberts. “Es Arquímedes, Mick Jagger, Salvador Dalí y Richard Feynman en una sola persona”, escribió la autora.

En 1970 Conway introdujo un nudo que tiene 11 cruces y desde entonces los matemáticos intentaban responder -sin éxito- si era slice o no. “Los matemáticos, a la hora de clasificar los nudos, estudiamos distintas propiedades que tengan los nudos. Una de esas propiedades es la de ser o no slice”, explica Silvero.

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La investigadora especializada en teoría de nudos reconoce que esta propiedad es complicada de explicar sin recurrir a tecnicismos porque abarca el espacio de dimensión cuatro. “Por ejemplo, una esfera de dimensión dos es el borde de una bola de dimensión tres”, argumentó. “Pero si subimos una dimensión más, podemos imaginar que un espacio de dimensión tres sería el borde de un espacio de dimensión cuatro”, agregó.

“Entonces, decimos que un nudo es slice si cumple la propiedad de ser borde de un disco cuando lo vemos dentro de un espacio de dimensión cuatro”. En este aspecto, la importancia del problema del nudo de Conway cobra otra perspectiva.

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“Existen 2.978 nudos de menos de 13 cruces y había 2.977 de los cuales se sabía si eran slice o no”, asegura Silvero. “¿Cuál era el único que no se sabía? Pues el nudo de Conway”, concluyó. La respuesta a la famosa interrogante, tal como se explica en el propio título del artículo de Piccirillo en Annals of Mathematics, no deja lugar a dudas: “El nudo de Conway no es slice”.​

Para encontrar la solución a este antiguo problema, lo que Piccirillo hizo fue sustituir al nudo de Conway por otro que inventó donde la propiedad slice era más sencilla de estudiar. Ese otro nudo “de su invención”, cuenta Aramayona, “tiene la propiedad que es slice si y solamente si el nudo de Conway lo es”.

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Después usó una serie de técnicas que terminaron por probar que su nudo no era slice y, por ende, tampoco el de Conway. “Con su resultado cerramos la clasificación de los nudos de menos de 13 cruces respecto a si son slice o no”, afirma Silvero.

Y agrega que lo ingenioso del abordaje de la estadounidense fue “combinar la idea de ella construir un nudo con el uso de técnicas que ya existían en teoría de nudos”. Suena simple, pero inventarse estos nudos emparentados, que son “hermanos de traza”, es complicado.

“No me permitía trabajar en el problema durante el día, porque no consideraba que fueran matemáticas reales. Lo pensaba como la tarea domiciliaria”, dijo la matemática a la revista Quanta. “Es algo que, digamos, me resulta familiar”, contó. “Así que solo me fui para casa y lo hice”, cerró.

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